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   　[摘要]：将单腿跳跃机器人简化成一个三杆模型，研究机器人跳跃过程中各个关节的运动轨迹问题，并在总结跳跃过程现有轨迹规划方法的基础上，运用参数化优化方法实现关节空间的轨迹规划，优化目标为机器人关节的控制势最小。将跳跃过程分解成开始段、腾空段、站立段和结束段，并对各段的关节轨迹分别优化，最后得到从静止状态开始起跳到着地后恢复至静止状态的整个跳跃过程的关节轨迹。
　　[关键词]：跳跃机器人；ＺＭＰ；优化；轨迹规划引言
　　相比于轮式及履带式移动机器人，仿人机器
　　人运动灵活，对地面要求低，对环境适应性强，因而倍受人们青睐。跳跃是仿人机器人的一种重要运动方式，可以极大地增加机器人的越障能力，在跳跃运动的不同阶段，机器人的运动状态和约束条件有很大的变化，但机器人的运动必然满足特定指标的最优性，所以本文采用优化的方法来寻找符合动力学约束的机器人跳跃轨迹。
　　当前跳跃机器人研究模型主要有三大类：第
　　一类是仿生机器人，即从自然界生物的弹跳动作中获得启发，采用外形和功能与某类动物类似的机构实现跳跃功能。如瑞士的研究人员设计了一款类似蚱蜢的跳跃机器人，质量仅７ｇ［１］；Ｃｈｅｎ等［２］设计的蚱蜢跳跃机器实现了三倍自身高度的跳跃，而且能够完成自我姿态恢复；麻省理工学院研制了一种液压控制的仿袋鼠单腿跳跃机器人
　　Ｕｎｉｒｏｏ［３］；日本东京大学科研人员在Ｕｎｉｒｏｏ基础上进行了改进，研制了类似狗腿型的机器人Ｋｅｎｋｅｎ［４］。第二类是简化模型，即直接利用简单机构产生弹跳力实现机器人的跳跃，这种机构自由度少，动力学模型简单，实现起来相对容易。如Ｃｈｅｒｏｕｖｉｍ等［５］设计了两自由度的跳跃机器人，该机器人只包含身体和可伸缩腿，运用其设计的控制方法实现了机器人在未知的不平整地面上的跳跃。第三类是特殊驱动的弹跳机器人，如采用爆炸力来实现弹跳的机器人［１］。这些研究主要集中在机器人弹跳功能的实现上。
　　目前仿人机器人跳跃行为的轨迹规划主要包
　　括两种：一是分析法。该方法是在满足动态稳定性约束前提下，根据设定的跳跃参数和机器人的结构参数，确定跳跃过程中机器人各关节的运动轨迹［６－８］。二是基于优化的方法，即以机器人动力学模型和稳定性条件为约束，采用优化的方法寻找最优的轨迹。该方法的主要目标是提高能量效率或是动态稳定性［９－１１］。按轨迹的描述方法来划分，又可将轨迹规划问题分为参数化轨迹规划和非参数化轨迹规划。
　　目前的文献中大多只对腾空段和站立段进行
　　了轨迹规划，只是得到了需要的起跳状态和着地状态而忽略了是否能够达到这些需要的状态，即没有考虑到机器人从静止状态能否达到需要起跳的状态以及能否从需要的着地状态达到静止状态。为了避免文献中优化参数个数和能量效率的矛盾，本文分析了有脚三杆机器人从静止直立开始到静止直立结束的全部过程，运用参数化优化的方法，在较少的优化参数条件下获得了控制势最小的最优轨迹。
　　１　三杆机器人模型
　　１．１　机器人运动学和动力学
　　本文采用的仿人机器人简化模型如图１所示，
　　机器人由三根连杆和脚组成，各部分间由转动关节连接，由下至上分别是脚、踝关节、小腿、膝关节、大腿、髋关节和躯干。研究机器人跳跃时，只考虑机器人在前向平面内的运动，每个关节有一个转动自由度。简化机器人模型的具体参数如表１所示，从小腿到躯干对各杆和各关节进行编号，各参量含义如下：ｍｉ（ｉ＝１，２，３）为第ｉ杆的质量，Ｉｉ为第ｉ杆绕
　　其质心的转动惯量，ｌｉ
　　为第ｉ杆的杆长，ｒｉ
　　为第ｉ杆
　　质心距其较低端端点的距离占其杆长的比例；ｌｆ１、ｌｆ２
　　分别为脚后跟和脚尖到脚踝的距离；θｉｌ、θｉｕ分别
　　为第ｉ个关节角角度的最小值及最大值，其中θ２３＝θ２－θ３；τｉｌ、τｉｕ
　　分别为第ｉ个关节力矩的最小及最大
　　值。脚的质量忽略不计，且假设腾空过程中脚一直与地面保持平行。
　　在某时刻，机器人整体质心在惯性系中表示
　　为Ｐｃ ＝ ［ｘｃ ｙｃ］Ｔ，脚在惯性系中表示为Ｐｆ ＝［ｘｆ ｙｆ］Ｔ，其满足关系
　　Ｐｃ ＝Ｐｆ＋ｆ（Θ）
　　Ｐ ·ｃ ＝Ｐ·ｆ＋?ｆ?ΘΘ ·
　　Ｐ¨ｃ ＝Ｐ¨ｆ＋?ｆ?ΘΘ ¨＋ ｄｄｔ（?ｆ?Θ）Θ·
　　（１）其中，Θ ＝ ［θ１　θ２　θ３］Ｔ，ｆ 表示脚和质心的位置关系。
     一般保守力系的拉格朗日方程为
　　ｄｄｔ（?Ｌｑ· ）－?Ｌｑ ＝Ｑ （２）
　　ｑ＝ ［θ１　θ２　θ３　ｘ　ｙ］Ｔ
　　Ｑ ＝ ［τ１－τ２ τ２－τ３ τ３ Ｆｘ Ｆｙ］Ｔ其中，Ｌ 为拉格朗日函数或动势；ｑ为选取的广义坐标；Ｑ 为各广义坐标对应的广义力；ｘ、ｙ 为踝关节在惯性系中的坐标；τ１、τ２、τ３
　　分别为三个在关节上施加的主动力矩；Ｆｘ、Ｆｙ为地面对脚的反作用力。
　　模型的动力学方程表述如下：
　　Ｄ（ｑ）ｑ¨＋Ｃ（ｑ，ｑ· ）ｑ· ＋Ｇ（ｑ）＝Ｑ （３）其中，Ｄ（ｑ）为广义惯性矩阵，Ｃ（ｑ，ｑ· ）为哥氏矩阵，Ｇ（ｑ）是重力项。
　　当机器人处在站立段时，采用ＺＭＰ作为稳定性判据，自ＺＭＰ判据提出至今，已经出现了许多不同的ＺＭＰ定义。概括起来主要有两类：一类从地面反力的角度出发，将地面反力向地面上某点等效，在该点处地面反力的力矩水平分量为零；另一类是指机器人机构上的重力与惯性力的合力的地面投影线的交点。按第二类定义，本文ＺＭＰ公式可以简化如下：
　　ｘｐ ＝τ１Ｆｙ
　　（４）
　　１．２　碰撞模型
　　假设着地碰撞过程是瞬间完成的非弹性碰撞，碰撞前广义坐标和广义速度分别记为ｑ－ 和ｑ·－，碰撞后广义坐标和广义速度记为ｑ＋、ｑ· ＋。碰撞前后广义坐标不变，广义速度突变，即ｑ－＝ｑ＋，ｑ·－≠ｑ· ＋，且碰撞后脚尖的速度为０。方程如下：
　　Ｄ（ｑ）（ｑ· ＋－ｑ· －）＝ＪＴδＦ （５）Ｊｑ· ＋＝０ （６）
　　其中，Ｊ为雅可比矩阵，δＦ为冲击力在碰撞时间内的冲量，由式（５）和式（６）可以得到冲击后各个关节的角速度为
　　ｑ·
　　＋＝ ［Ｉ－Ｄ－１　ＪＴ（ＪＤ－１　ＪＴ）－１　Ｊ］ｑ· － （７）其中，Ｉ是和Ｄ 同维数的单位矩阵。
　　２　参数化轨迹优化
　　２．１　跳跃过程的分解
　　机器人的整个跳跃过程如图２所示，包含开
　　始段（ｓｔａｒｉｎｇ　ｐｈａｓｅ）、腾空段（ｆｌｉｇｈｔ　ｐｈａｓｅ）和站立段（ｓｔａｎｃｅ　ｐｈａｓｅ）或停止段（ｓｔｏｐｐｉｎｇ　ｐｈａｓｅ）。
　　开始段是机器人从静止直立状态到达离地前一时刻的状态（ｔａｋｅ　ｏｆｆ）；腾空段是以脚离开地面开始，到脚再次与地面碰撞（ｔｏｕｃｈ　ｄｏｗｎ）的前一刻结束；站立段从脚碰撞地面后一刻开始，到下一次腾空前结束；停止段从碰撞后一刻开始，到静止直立状态结束。
　　２．２　周期跳跃过程轨迹优化
　　周期跳跃过程包含腾空段和站立段，如图２
　　所示。给定跳跃步长为Ｌｓ ＝０．２５ｍ；跳跃高度（脚离地前和落地后之间的高度差）为ｈｓ，特别地，当机器人在水平地面跳跃时，ｈｓ ＝０；本文假定跳跃过程都在水平地面环境下完成，腾空段前向速度为ｖｃｘ ＝０．５ｍ／ｓ。假设在腾空段开始时，脚的位置为Ｐｆｌ
　　ｆ０ ＝ ［０ ０］Ｔ，则第一次落地后脚的位置为Ｐｆｌ
　　ｆｆ＝ ［Ｌｓ ｈｓ］Ｔ，其中上标ｆｌ表示腾空段，下标第一个字母ｆ表示脚（ｆｏｏｔ），第二个字母０表示一个阶段开始时刻，第二个字母ｆ表示一个阶段的终了时刻，下文也沿用这种表示方法。选定起跳时刻和碰撞时刻三个关节角：
　　Θｆｌ
　　０ ＝ ［θｆｌ
　　１，０ θｆｌ
　　２，０ θｆｌ
　　３，０］Ｔ
　　Θｆｌ
　　ｆ ＝ ［θｆｌ
　　１，ｆ θｆｌ
　　２，ｆ θｆｌ
　　３，ｆ］Ｔ
　　然后由式（１）可以得到腾空段质心初始位置和终了位置Ｐｆｌ
　　ｃ０ ＝ ［ｘｆｌ
　　ｃ０ ｙｆｌ
　　ｃ０］Ｔ 和Ｐｆｌ
　　ｃｆ＝ ［ｘｆｌ
　　ｃｆ ｙｆｌ
　　ｃｆ］Ｔ。质
　　心在腾空段是抛物线轨迹，由此可以确定腾空段时间和初始时刻竖直方向上质心速度：
　　ｔｆｌ＝
　　ｘｆｌ
　　ｃｆ－ｘｆｌ
　　ｃ０
　　ｖｃｘ
　　（８）
　　ｖｃｙ０ ＝
　　ｙｆｌ
　　ｃｆ－ｙｆｌ
　　ｃ０＋１２
　　ｇ（ｔｆｌ）２
　　ｔｆｌ （９）
　　机器人从站立段到腾空段，脚的位置、速度、
　　加速度是连续的，所以在腾空段初始时刻，脚的速度和加速度分别为Ｐ
　　·
　　ｆｌ
　　ｆ０ ＝ ［０ ０］Ｔ，Ｐ¨ｆｌ
　　ｆ０ ＝［０ ０］Ｔ。
　　腾空段踝关节不提供力矩，是一个欠驱动过