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　　等式约束：
　　［θ１（ｔ＝０）θ２（ｔ＝０）θ３（ｔ＝０）］Ｔ ＝Θｓｔ０
　　［θ１（ｔ＝Ｔｓｔ）θ２（ｔ＝Ｔｓｔ）θ３（ｔ＝Ｔｓｔ）］Ｔ ＝Θｓｔｆ
　　θ ·
　　１（ｔ＝０） θ
　　·
　　２（ｔ＝０） θ
　　· ［ ３（ｔ＝０）］
　　Ｔ ＝Θ
　　· ｓｔ
　　０
　　θ ·
　　１（ｔ＝Ｔｓｔ） θ
　　·
　　２（ｔ＝Ｔｓｔ） θ
　　· ［ ３（ｔ＝Ｔｓｔ）］
　　Ｔ ＝Θ
　　· ｓｔ
　　ｆ
　　不等式约束：
　　τ１ｌ≤τ１ ≤τ１ｕ　　τ２ｌ≤τ２ ≤τ２ｕτ３ｌ≤τ３ ≤τ３ｕ　　θｉｌ≤θｉ ≤θｉｕ　　ｉ＝１，２，３θ２３ｌ≤θ２３ ≤θ２３ｕ　　－ｌｆ１ ≤ｘｐ ≤ｌｆ２Ｆｙ ≥０　　Ｆｘ ≤μＦｙ
　　其中，ｌｆ１
　　和ｌｆ２
　　分别是脚后跟和脚尖到踝关节的距
　　离，μ是地面滑动摩擦因数，文中取μ＝２／３。
　　周期跳跃过程中三个关节角、角速度、关节力
　　矩、ＺＭＰ随时间变化关系如图３～图６所示，从图中可以看出，整个过程中关节角连续变化，在碰撞时刻关节角速度产生突变。
　　２．３　开始段以及停止段轨迹优化
　　开始段和停止段优化方法以及约束条件与周
　　期过程的站立段相似，值得强调的一点是腾空段前向速度为ｖｃｘ
　　的取值不宜过大。从开始段来看，
　　若ｖｃｘ
　　选取过大，机器人从静止直立状态到腾空前
　　的状态，踝关节需要施加更大的力矩，容易导致机器人失稳。
　　图７～图１０所示为开始段三个关节角、角速
　　度、关节力矩、ＺＭＰ随时间的变化曲线，图１１～图１４为停止段各量的变化规律图。
　　对比站立段、开始段以及停止段的ＺＭＰ轨
　　迹可知，在站立段和停止段ＺＭＰ变化范围较小，而开始段变化较大，特别是开始段取得的负值很大，一个可能的解释是开始段从静止加速到起跳状态，需要的踝关节力矩较大，导致ＺＭＰ负值很大。
　　图１３　周期过程的关节角速度变化
　　机器人跳跃过程的棒状图如图１５所示，依次
　　包含开始段、腾空段、站立段、腾空段、停止段，图中一些点组成的一条从左至右的深色曲线表示质心轨迹。
　　３　结语
　　本文将单腿跳跃机器人的跳跃过程分为开始
　　段、腾空段和站立段或停止段，采用参数化优化方法规划出了每个阶段的最优关节轨迹。与直接规划运动轨迹的方法相比，优化方法保证了运动过程中机器人关节控制势的最优；而参数化优化方法相对于非参数化优化方法大大减少了优化变
　　量，提高了运算效率。以往关于轨迹规划的文献只是局限于在直接给定起跳状态和着地状态的情况实现轨迹的规划，既没有考虑机器人从静止状态能否达到需要起跳状态，也没有考虑机器人能否从给定的着地状态达到静止状态。本文则考虑了跳跃的全过程，采用参数化优化规划了机器人开始段和停止段的关节轨迹，实现了机器人从静止直立状态到起跳状态以及从碰地后状态到静止直立状态的过渡。
　　参考文献：
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