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　　[摘要]：通过分析二维振动铣削条件下刀尖运动轨迹特点，利用椭圆方程与旋转矩阵建立了描述刀尖 运动轨迹最大轮廓的数学模型，在刀具同一转角下，运用距离间计算公式求得任意转角下的切削厚度 值。通过对不同加工参数下刀尖轨迹数值仿真分析，获得了实现理想刀尖轨迹和切削厚度曲线的条件， 从而为二维振动铣削的理论研究打下基础。
　　[关键词]：振动铣削；切削厚度；刀尖轨迹；数值仿真0引百
　　振动加工就是在传统的切削加工基础上对工 件或刀具施加一定频率的振动以改变加工模式，达到减小切削力[1]、降低表面粗糙度[2]、切屑处理 容易[4]、减少刀具磨损[6]等良好的加工效果。
　　二维振动切削的切削力比一维振动切削的切削力 更小[7]，表面粗糙度值更小[]，其良好的加工效果 受到了各国学者的广泛关注。
　　目前,振动加工技术已经在车削、钻削等领域
　　获得了大量的研究成果[9飊10],对振动铣削技术的研究成为振动加工的研究热点。在一维振动铣削方面,沈学会[11]进行了较系统的理论研究,从运动学方面分析了一维振动铣削的加工机理,并通过实验得出工件切削表面质量提高、刀具磨损减小等加工效果。在二维振动铣削方面,Chern
　　等[12]利用压电陶瓷微驱动二维振动工作台进行了振动铣削的实验研究,实验研究表明:振动辅助微铣削可以改善加工沟槽的尺寸精度,降低切削表面粗糙度和延长刀具寿命。丁辉[13]从理论上对二维振动铣削的动力学过程进行了分析,并通过实验得出二维振动铣削的加工效果优于一维振动铣削的结论,但在切削厚度的计算方面,他没有给出具体的解析函数公式,在刀尖轨迹的分析中也没有给出获得最优理想刀尖轨迹的参数选择。
　　因此,本文将针对这两点,从解析函数角度计算切削厚度,并依据二维振动铣削切削厚度变化的特点,对加工参数进行优化,以此求得理想的刀尖轨迹和切削厚度曲线,进而提高工件的加工效果。
　　1暋切削厚度数值仿真
　　1.1暋切削厚度形成过程分析
　　目前,普遍应用的铣削厚度计算模型是由
　　Tlusty等[14]提出的,假设刀具轨迹为圆,依据刀具的旋转过程,刀具的切削厚度近似为h =
　　ftsin毴,ft 为刀具的每齿进给量,毴为刀具的旋转角度,如图1所示。但是在二维振动铣削中,刀尖轨迹不再是类似圆的形状,而是随着刀具的旋转和振动的影响,呈现螺旋状,图2为两齿铣刀在二维振动铣削加工中刀尖轨迹仿真图,图中A 点为前一刀尖轨迹上的点,B 为后一刀尖轨迹上
　　的点。
　　分析其运动过程可知,一次走刀过程中后一
　　刀齿切削轨迹进入前一刀齿切削范围内时,对工件同一位置表面进行了第二次铣削;后一刀齿的刀尖位于前一刀齿的切削轨迹内时不产生切屑,切削厚度为零;后一刀齿的刀尖位于前一刀齿的切削轨迹外时产生切屑,切削厚度为同一刀具转角下切削刃与最大轮廓间交点的距离,即为图中A、B 点间的距离。
　　因此,为求出二维振动铣削的切削厚度,只需
　　求前后两切削轨迹的最大轮廓方程,然后计算出同一刀具转角下两最大轮廓上点的坐标,这两交点间的距离即为当前刀具转角下切削厚度数值。
　　1.2暋切削厚度计算
　　观察此最大轮廓曲线的变化规律,可近似地
　　将其看作由若干个半椭圆接续而成。首先通过椭圆公式和刀具运动参数求得起始位置处半椭圆方程,然后通过一定的角度旋转可求得任意处的半椭圆方程,将所有刀具旋转半周期内的椭圆都求出后,就可确定最大轮廓上各点坐标,从而求得切削厚度值。具体计算过程如下:
　　(1)为求得椭圆方程,先求每两个半椭圆间
　　的交点坐标。由于刀具的旋转角度、振动频率和振幅都呈周期性变化,从而椭圆间交点的坐标也呈现周期性,其变化周期为刀齿的旋转周期T,根据刀具的旋转规律和切削轨迹的特征,形成每一个交点的时间为tn =t1 +T(n-1)/k (1)
　　式中,n =1,2,… 为每一个交点的时间;k 为切削轨迹中椭圆的个数。
　　则第n 个交点的坐标(xn,yn)为
　　xn =vftn +rsintn
　　yn =rcost } n (2)
　　式中,vf 为刀尖的进给速度;为刀具旋转角速度。
　　(2)根据两交点坐标和最大轮廓的曲线特征
　　求第n 个椭圆方程的数学表达式。先求得第一个椭圆(刀尖起始位置的椭圆)的长轴和短轴来建
　　立椭圆方程,将此椭圆方程乘以旋转矩阵就可以求得任意旋转角度下椭圆的方程,椭圆上点的坐标即为所求。旋转矩阵为cos毩-sin毩
　　sin毩cos
　　é
　　? êê
　　ù
　　? úú
　　毩,其中
　　旋转矩阵的旋转角毩=氊tn +tn-1 2 ,则任意椭圆上点的坐标(x* n ,y* n )为