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　　首先来考察典型的消费者行为。假设代表性消费者消费两种产品:农产品CA与工业品CM。消费者的效用函数为Cobb-Douglas型,则有U=CμMC1-μA,其中U为消费者的效用水平,μ为工业品消费的效用弹性。进一步设农产品价格为PA,工业品价格为P,消费者的总收入为Y,则由代表性消费者的效用最大化问题,可得代表性消费者对农产品与工业品组合的需求函数分别为CM=μY/P,CA=(1-μ)Y/P.进一步设工业品的种类为n,消费者对每种工业品的需求为ci(i=1,…,n)。各种工业品之间的替代弹性为σ。定义ρ=(σ-1)/σ,消费者的工业品消费水平CM为CM=∫n0cρi，di1/ρ=∫n0c(1-1/σ)idi，σ/(σ-1)设每种工业品的价格水平为pi,则由典型消费者在工业品消费决策方面所面临的子效用最大化问题的最优条件,可得工业品的总体价格指数P为P=∫ni=1p(1-σ)idi1，1-σ.同时可得每种工业品的需求函数为ci=piP-σCM.

　　2.生产者行为

　　以下来考虑生产者的决策行为。假设典型生产者的生产过程需要三种要素投入,即资本K、劳动L与中间产品M。其中,资本投入形成企业的固定成本,劳动与中间产品投入形成企业的可变成本。为简化分析,仿照Fujita,KrugmanandVenables(1999)的方法假定企业以一种劳动和中间品的组合x=βMαL(1-α)作为生产中使用的可变投入,且这种投入组合x的价格为G。设企业生产过程中的边际要素投入为aM,单位资本投入的报酬率为r。假设每个企业建立需要1单位资本的固定资产投入,则典型企业的利润函数为πi=(pi-aMG)ci-r.

　　由利润最大化条件可知在企业数量足够多,企业之间不存在互动博弈行为的情况下,典型企业的最优定价决策为p＊i=σσ-1aMG.

　　同时假设企业以工业制成品作为中间产品投入,因此中间投入品M的价格等于工业品的价格P,劳动力投入的单位报酬即工资为w,则有G=Pαw(1-α)。

　　在总可变成本中,中间品支出份额为α,工资支出所占份额为(1-α)。将G=Pαw(1-α)代入式中,可得p＊i=σσ-1aMPαw(1-α).为简化分析起见,可以对其进行一定的标准化处理,选择一定的计量标准使得αM=(σ-1)/σ,则可得企业的最优定价决策为p＊i=Pαw(1-α).此外,在垄断竞争条件下,我们假设企业可以自由进出该行业,因此在长期均衡当中行业内的厂商获得零利润,即π＊i=(p＊i-aMG)ci-r=0.

　　(三)空间经济增长模型

　　在以上分析基础之上,我们可以着手构建关于产业在空间分布情况下的一般均衡模型。与经典的空间经济模型一样,该模型是由若干相互关联的方程所共同组成的一个系统性方程组所构成,而这些方程的构建则依赖于前文D-S垄断竞争模型所得到的结论。具体而言,构成该方程组的系统性方程主要包括如下部分:

　　1.价格指数方程

　　空间经济学当中对运输成本的常用处理方式是“冰山”型运输成本,该理论由Samuelson(1952)首先提出。即假设货物在运输过程中会损失掉一部分比例。这种处理方法可以大大简化分析过程,因此我们在这里也沿用了“冰山”成本的假设。由于在国家u内部销售的产品包括了本地企业生产的产品和国外进口产品,设任一国家j内部的典型厂商nj在当地销售的价格为pji,出口过程中的运输成本为τu,j5,且τu,u=1,则由国家j(j=1,…,N)生产并出口到国家u中的产品实际价格为τu,jpji。假设所有的企业均是对称的,则根据,国家u的工业品价格指数为Pu=ΣNj=1nj(pjiτj,u)(1-σ)1/(1-σ),其中nj为国家j中的企业数量。可将该价格指数方程写为如下形式:Pu=ΣNj=1；nj(Pj)α(1-σ)(wj)(1-α)(1-σ)(τ(1-σ)j,u)1/(1-σ).

　　2.资本存量方程

　　进一步确定各国的资本存量方程。假设国家u的劳动力禀赋总量为1,其中制造业劳动力所占的比重(即制造业劳动力数量)为su,外生的劳动生产率水平为zu,此时该国在生产过程中投入的劳动要素可被视为一种“有效劳动”,所投入的有效劳动数量为zusu;工资水平wu可被视为每单位有效劳动的报酬,此时该国制造业工人的实际工资收入为zuwusu。

　　假设国家u中所拥有的全部企业数量为nu,由于每家企业拥有1单位资本(固定资产),因此nu也是该国拥有的全部资本存量。可知,典型企业会将其销售收入的(1-1/σ)用于支付可变成本支出,而在全部可变成本支出当中,工资支出则占了(1-α)。假设典型企业的产量水平为qui,可得如下等式:zuwusu=Σnui=1(1-α)(1-1/σ)pu＊iqui.选取一定的计量标准使qui=1/(1-α),代入整理得企业数量(资本存量)方程为zusu=nu(1-1/σ)(Pu)α(wu)-α.

　　3.工资方程

　　假设国家u的代表性企业产量为qui,其产品在当地售价为pui;由于跨地区销售存在运输成本,该企业在国家j(j=1,…,N)产品的销售价格为τu,jpui。根据式中,其在任一国家j销售产品的数量cji为cji=(τu,jpui/Pj)-σCjM,其中CjM是国家j对工业制成品的需求总量。假设国家j中用于购置工业制成品的支出为Ej,工业制成品的价格指数为Pj,则国家j对工业制成品的需求量为CjM=Ej/Pj。将其代入式可得cji=Ej(τu,jpui)-σ(Pj)σ-1.考虑到运输成本损失,为了在国家j销售1单位产品需要从u国出口τu,j单位产品。因此有qui=ΣUj=1τu,jcji,将式代入并根据前文的标准化假设qui=1/(1-α)以及pui=(Pu)α(wu)(1-α)可得国家u的工资方程为[(wu)1-α(Pu)α]σ=(1-α)ΣNj=1；Ej(Pj)(σ-1)τ(1-σ)u,j.

　　4.制成品支出方程

　　根据前文的分析,一个地区对工业制成品的需求来自两方面:一是消费者对工业制成品的需求,二是工业部门对中间投入品的需求。假设国家u的收入水平为Yu,其中用于维持基本生活需要的食品支出为Y,因此该国可以供自由支配的收入为(Yu-Y)。根据式中,典型消费者会将其可支配收入的μ部分用于购买工业制成品,因此国家u的消费部门对工业制成品的购买支出可以记为μ(Yu-Y)。

　　接下来考虑工业部门对工业制成品的需求。根据式中,企业会将销售收入的(1-1/σ)部分用于支付可变成本支出,而在可变成本支出当中,用于购置中间品投入的支出所占的份额为α,因此对该国典型企业而言,其对工业制成品的购买支出为α(1-1/σ)puiqui。

　　由以上两方面,我们可以得到地区N与S用于工业制成品的购买支出为Eu=μ(Yu-Y)+Σnui=1α1-1σpuiqui.利用标准化假设qui=1/(1-α)以及pui=(Pu)α(wu)(1-α)及企业之间的对称性将公式进行简化,得到制成品的支出方程为Eu=μ(Yu-Y)+αzuwusu/(1-α).

　　5.收入方程

　　根据假设条件,一个地区的收入水平由四个部分组成:即农业部门的劳动收入、制造业部门的工资收入、投资者的投资净收益和资本品生产者(人力资本)的收入。由前文分析可知,国家u制造业部门的工资收入可记为zuwusu。对于农业部门,我们假设其产出是收益递减的。为了便于分析,根据Krugman,FujitaandVinables(1999),可以假设农业部门的生产函数形式为A(LA)=zκηLAκη,其中η为农业产出中劳动力报酬所占的比重,κ是一个常数,可以被视为农业部门特定要素(比如土地)的存量。其中LA为农业劳动力投入,z为劳动生产率,κ与η为参数。由于农业部门是完全竞争产业,因此其产出等于农业劳动者的收入。由u国农业劳动投入(1-su)和劳动生产率zu得农业劳动者收入如下:A[(1-su)]=κη1-suκηzu.

　　从投资者的净收益来看,各国资本所有者收益都由本国投资企业和海外投资企业所获得的资本收益构成。设国家u典型企业的资本收益为ru,则资本所有者所获得的资本收益为(1-fu)nuru+Σj≠ufjunjrj。其中前一项为u国投资者在本地投资获得的收益,后一项为u国投资者在国家j的海外投资中获得的收益。假设u国的外资依存度为fu,而在j国的全部投资中u国投资者所占的比重为fju,由此我们可以得到国家u的收入方程为Yu/zu=κη1-suκη+wusu+(1-fu)nuru+Σj≠ufjunjrj.由式可知资本所有者的收益占企业销售收入比重为1/σ,即ru=puiqui/σ,

　　6.技术进步率与长期均衡条件

　　假设劳动效率水平zN与zS由两国外生的技术进步率ψN与ψS所决定,且在基期t0时劳动效率水平为1,则在时点t,劳动效率水平为zut=(1+ψu)t.

　　在长期条件下,企业有足够的时间对其区位分布进行调整。在我们的模型中,劳动力不能进行跨国流动,但可以在国内农业与非农业部门间转移。当一国的制造业工资高于农业工资时,总会促使一部分农业劳动力转变成制造业劳动者。随着农业劳动者的减少,农业生产规模收益递减条件会引起农业生产第者的报酬上升,直到两部门工资相等。因此在一个长期均衡水平中,每个地区的资本存量规模会满足如下均衡条件,即农业部门的工资率等于工业部门的工资率。假设农业部门为完全竞争部门,且农产品价格水平被标准化为1,因此农业生产者的报酬率等于农业边际产出A′(·),由此可得区位长期均衡条件为7wu=[(1-su)/κ]η-1.价格指数方程、资本存量方程、工资方程、制成品支出方程、收入方程、技术进步方程以及长期均衡条件构成了空间经济增长的一般均衡系统。其中工业品价格Pu、资本存量nu、制造业工资wu、工业从业人口su、劳动效率zu、制成品购买支出Eu、收入水平Yu为该模型的内生变量。

　　(四)模型的模拟分析

　　在以上的分析中我们构建了空间经济增长的方程系统,如果能够对该方程系统进行求解,那么就可以得到在该系统处于均衡水平时的各变量的具体水平。然而由于该空间经济增长模型属于多元非线性方程组,所以通过数学方法难以得到该方程组的显性解析解。因此,对该方程组进行分析就必须要依赖计算机模拟技术来进行。由于模型中人口总量被规范化为1,所以该产出水平实际上是一个人均产值的概念。

　　1.外资依存度与经济增长的模拟分析

　　按照一般性的理解,经济增长主要反映的是一个国家的产出水平变化,即一国的国内生产总值(GDP)的增长。然而在前文建立的经济系统中并不包含各国的国内生产总值情况。因此,为了反映经济增长情况,特构建各国的国内生产总值指标如下:GDPut=κη1-sutκ其中GDPut为t时刻u国的人均国内生产总值9。其中第一项为农业产值,第二项(工资收入)与第三项(利润收入)的合计体现了制造业的产值。该指标中的各变量均为前文系统方程中所包含的变量,因此根据上述方程所确定的均衡解可以计算出国内生产总值水平。

　　在该空间经济增长模型中,技术进步对经济增长的影响主要体现在两方面:一是促进资本的形成,二是推动资本的转移。效率提升对于资本形成的促进作用是一个国家实现经济增长的根本动力。在不考虑技术进步的情况下,经济中所能够容纳的资本数量是既定的,当资本存量达到了经济所能容纳的最大数量后,新的资本进入无法获得正利润,资本存量也就不再继续增加,经济增长的过程也将因此而终结。技术进步所带来的效率提升为新的资本形成提供了可能。随着技术的进步,有效劳动投入的增长会提高各国的收入水平,从而扩大了市场需求,并为更多的资本进入创造了空间。正是这些不断增加的资本投入成为推动各国经济增长的源泉。因此,从世界的整体情况来看,技术进步是引发经济长期增长的唯一动力,在这一点上,我们的分析与新古典增长理论所得到的结论是一致的。

　　然而与新古典增长理论不同的是,技术进步在促进资本形成的同时还可以通过产业的转移和扩散影响特定国家的资本存量和经济增长。随着技术进步过程的深入,制造业会摆脱原有的集聚力由发达国家逐渐向发展中国家进行转移。因此对于发展中国家而言,在技术进步的过程中除了因直接的资本形成效应而实现的经济增长之外,还可以通过吸引发达国家已有的资本存量向国内转移而使该国的经济增长呈加速进行态势。