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　　对经济增长问题的研究，索洛模型提供了一个良好的基础，但是在索洛模型中，没有老龄化这一变量。因此，索洛模型实际上是忽略了老龄化因素的影响作用。以下分析将人口老龄化因素引入索洛模型中，使索洛模型成为分析老龄化因素对经济增长的影响作用的一种有效工具，这也是对索洛模型应用的扩展。

　　首先，人口老龄化在生产领域对区域经济发展的影响主要是通过就业劳动力数量以及劳动生产率来反映的，本文通过L=(1－a－c)eN将老龄化因素引入经济增长模型中。其中，L是参与实际经济活动的劳动力数量，a是老龄人口在总人口中的比重，c是少儿人口占总人口的比重，e表示劳动参与率，N表示人口总量，以A来表示知识或劳动的有效性，则有效劳动平均资本量表达式为:k=KA(1－a－c)eN(8)其次，人口老龄化在消费领域对区域经济发展的影响主要是通过社会保障支出而影响区域经济下一轮投资的。从社会保障角度考虑，有关专家对西方发达国家社会保障历史进行统计分析发现，从20世纪70年代初到90年代，西方发达国家60岁及以上人口比重每提高1个百分点，社会保障支出占GDP的比重就相应提高约1个百分点;65岁及以上人口比重每提高1个百分点，社会保障支出水平就相应提高约5个百分点。

　　老年人口的养老、医疗等社会保障支出都是从国民收入中分割出来的一部分，因此，假设国民收入中用于老年人养老、医疗等社会保障的支出比例为b(通常b＜1)，经济总产出为Y(t)，则Y(t)中用于老年人养老、医疗等社会保障的部分为Ya(t)。Ya(t)=bY(t)(9)因此，本文通过支出比例b将老龄化因素引入经济增长模型。总产出Y(t)扣除Ya(t)的剩余额为(1－b)Y(t)，这些将由劳动力用于消费与投资，设劳动力的储蓄率为s。根据山东省老龄委2008年重大专项课题(2008LLWZ01)调查数据显示，74.13%的老年人没有存款，“有，够今后养老用”的仅占9.72%。因此，笔者假定老人的养老收入不再进行储蓄而全部用于消费，这个假定与调查情况比较吻合。

　　则经济中的投资量为:K·(t)=sY(t)－δK(t)=s(1－b)Y(t)－δK(t)(10)现在来推导引入老龄化因素的经济平衡增长路径方程。式(8)两端对时间t求导，得:k·=K·A(1－a－c)eN－K［A·(1－a－c)eN－A?aeN－A?ceN+A(1－a－c)?eN+A(1－a－c)eN·］A2(1－a－c)2e2N2=K·A(1－a－c)eN－KA·A2(1－a－c)eN+Ka·A(1－a－c)2eN+Kc·A(1－a－c)2eN－Ke·A(1－a－c)eN－KN·A(1－a－c)eN2(11)将(10)式代入上式中，并假定A·A=g，N·N=n，?ee=m，则:k·=s(1－b)Y－δKA(1－a－c)eN－KgA(1－a－c)eN+Ka+c1－a－cA(1－a－c)eN－KmA(1－a－c)eN－KnA(1－a－c)eN=s(1－b)YA(1－a－c)eN－(δ+g+m+n)KA(1－a－c)eN+Ka+c1－a－cA(1－a－c)eN(12)注意到f(k)=YA(1－a－c)eN以及k=KA(1－a－c)eN，因而上式可写成:k·=s(1－b)f(k)－(δ+g+m+n)－a+c1[]－a－ck(13)其中，s是居民储蓄率;b是老年人口支出占GDP的比重;k是单位有效劳动的所占资本;f(k)是单位有效劳动所占资本下的产出水平;δ是固定资产折旧率;g是技术进步增长率;m是劳动参与率的增长率;n是人口增长率;?a是老年人口占总人口的比重的变化量;?c是少儿人口占总人口的比重的变化量。

　　式(13)就是在索洛经济增长模型中纳入老龄化因素后的经济增长模型表达式。由该式可知，经济增长处于稳态时的前提条件是k·=0。最后，得到加入人口老龄化因素的区域经济发展的稳态方程:s(1－b)f(k)－(δ+g+m+n)－a+c1[]－a－ck=0(14)

　　四、基于扩展模型对人口老龄化的区域经济效应的宏观分析

　　从宏观上把握人口老龄化的区域经济效应。首先，人口老龄化程度的加深会导致产出曲线的移动从而影响区域经济产出水平。一方面，依据生命周期理论，老年人口的增多会降低社会居民的总体储蓄水平而导致s的减少，从而降低资本积累水平。另一方面，由于老年人口需要消耗GDP的一部分，这也进一步会减少积累资金。所以，人口老龄化程度的加深会导致产出曲线由sf(k)下移到s(1－b)f(k)，稳态下的人均资本量减少到k4，经济产出水平下降到f(k4)，这是人口老龄化减弱区域经济产出的负效应。

　　其次，人口老龄化程度的加深会引起劳动参与率的变化而带来持平投资曲线的移动，从而影响区域的经济产出水平。人口老龄化减少了劳动供给，在一定程度上降低了劳动参与率。根据山东省统计局数据计算，2000～2007年山东省劳动参与率平均每年变动的百分点为－0.21。由于m＜0，持平投资曲线(δ+n+g)k下移到(δ+n+g+m)k，则持平投资曲线与产出曲线s(1－b)f(k)的交点由(k4，f(k4))移到(k2，f(k2))，即经济产出增加了。劳动参与率的负增长在一定程度上促进了经济增长，这主要是因为技术进步和生产力的不断发展带来了劳动生产率的提高，从而推动了经济增长。因此，积极发展教育，增加人力资本存量对促进区域经济发展至关重要。大幅度提高公共教育投资在GDP中的比重，扩大妇女特别是落后地区女性受教育的机会等都将有力地提高劳动力人口的受教育水平，从而促进生产力的发展。人口老龄化虽然导致劳动力人口不断缩减，但人力资本存量的增加在一定意义上等于增加了劳动力供给，同时老龄人口消费也具有拉动经济增长的效应。可见，人口老龄化具有推动区域经济增长的正效应。

　　最后，人口老龄化程度的加深会直接影响区域人口年龄结构的变化而导致持平投资曲线的移动，进而影响区域的经济产出水平。根据人口转变的四阶段论，随着区域社会经济发展水平的提高，区域人口再生产必然出现出生率和死亡率下降的客观趋势，进而导致区域人口再生产模式呈现出由原始模式向传统模式进而向现代模式转换的一般规律。区域人口再生产的四个阶段分别为高出生率、高死亡率的转变前阶段，属于传统型人口再生产类型;出生率和死亡率开始下降，后者先于前者的前期转变阶段，这一阶段主要以死亡率的转变为标志，人口再生产属于过渡型;出生率和死亡率加速下降的后期转变阶段，这一阶段主要以生育率的转变为标志，人口再生产亦属于过渡型;低出生率和死亡率阶段，人口再生产属于现代型。

　　区域人口再生产处于不同的发展阶段，区域内老年人口的比重也就不同，即区域的人口老龄化程度不同，更广范围的就是区域人口年龄结构的不同。反映在扩展的经济增长模型中，就是a+c1－a－c的正负和大小，它的引入会引起持平投资曲线的移动，从而影响区域经济产出的增减。

　　当c＞0，a＜0，c＞a时，区域老年人口比重变动为负，少儿人口比重为正，相应的区域人口年龄结构为年轻型，人口再生产处于转变前阶段的传统型，这时?a+?c1－a－c＞0，会导致持平投资曲线下移从而增加区域经济产出水平。这是因为区域老年人口比重很低，劳动适龄人口的人均资本量相对较高，而且人力资本投资比重也相对较高，这些都有利于区域经济发展。

　　当c＞0，a＞0，c＞a时，区域老年人口比重开始逐步上升，少儿人口比重有所下降，但其数值仍为正值且仍高于老年人口比重，相应的区域人口年龄结构向成年型过渡，人口再生产处于前期转变阶段的过渡型，这一阶段主要以死亡率的转变为标志，这时a+c1－a－c＞0，会导致持平投资曲线下移从而增加区域经济产出水平。这是因为区域老年人口比重较低，区域人口发展还未进入老龄社会，此时区域内的劳动适龄人口比重比较高，劳动力供给丰裕，这有利于区域经济发展。

　　当c＜0，a＞0，a＞c时，区域老年人口比重持续上升，其幅度大于少儿人口比重的下降幅度，区域人口年龄结构处于从成年型到老年型的过渡阶段或老龄社会的前期阶段，人口再生产处于后期转变阶段的过渡型，这一阶段主要以生育率的转变为标志，这时a+c1－a－c＞0，会导致持平投资曲线下移而增加区域经济产出水平。这是因为尽管区域老年人口比重上升，但区域人口老龄化程度还相对较低，劳动力供给丰裕的优势将会持续，这仍会有利于区域经济发展。

　　当c＜0，a＞0，a＜c时，区域老年人口比重升高的幅度小于少儿人口比重下降的幅度，区域人口年龄结构步入老年型，人口再生产进入低出生率和低死亡率阶段的现代型，这时a+c1－a－c＜0，会导致持平投资曲线上移从而减少区域经济产出水平。这是因为随着区域老年人口比重的上升，劳动适龄人口的人均资本量则趋于下降，而且人力资本投资也趋于下降，这些都不利于区域经济发展。当a+c1－a－c＜0时，持平投资曲线(δ+g+m+n)k－a+c1－a－ck与没有人口年龄结构影响的持平投资曲线(δ+g+m+n)k相比斜率变大，与产出曲线s(1－b)f(k)的交点就由(k2，f(k2))移到(k3，f(k3))，稳态的产出水平下降了。这说明由于人口老龄化导致的人口年龄结构的老化对经济增长是不利的，同时也说明政府的计划生育政策由于降低了人口增长率n而带来人均资本的增加和经济的增长，但是也导致少儿人口比重的快速下降，会在一定程度上抑制经济增长。

　　可见，随着区域人口老龄化程度的加深，区域人口年龄结构由年轻型转向老年型，人口再生产类型由传统型发展到现代型，持平投资曲线将会逐步由下向上移动，从而减少了区域的经济产出。这说明不同的区域，人口老龄化程度不同，人口再生产所处发展阶段不同，人口老龄化对区域经济发展的影响也就不尽相同。基本规律是，人口老龄化程度越高，其对区域经济发展的减速效应就越明显。