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圆锥曲线的光学性质及其简单应用

时间:2016-10-31 10:15 文章来源:http://www.lunwenbuluo.com 作者:陶述兵 点击次数:

  摘要: 平面内到定点F的距离到定直线(点F不在上)的距离比为常数e的轨迹为圆锥曲线,记为C,定点F为其焦点,定直线为与F对应的准线,常数e为其离心率,根据e的不同可分为椭圆、双曲线、抛物线三类.当时,C为椭圆;当e=1时,C为抛物线;当时,C为双曲线.本文主要研究圆锥曲线的光学性质及其应用.
  关键词: 圆锥曲线 光学性质 简单应用
  某次考试后的集体改卷中,我们备课组成员对于该考卷中的某道题目的处理产生了争议.
  填空题13题:求函数y=sin(2x+)的单调递增区间.
  学生给出的答案有主要有两种写法:
  备课组老师有的认为(1)的写法比较准确,有的则认为两者都可作为正确答案.
  必修一在第1章第2节:函数及其表示中,通过集合给出区间的概念,所以区间是集合,是一个数集,但区间必须指的是一个连续的范围,所以区间并不等同于集合,或者说,并不等同于数集.在很多情况下,区间与数集具有相同的效果,可以相互转化表示某一个范围,如:
  例1:[1,5]={x/1≤x≤5},(1,5)={x/1  例2:函数f(x)=ln(x-6x+5)的定义域:既可以表示成(-∞,1)∪(5,+∞),又可以表示成{x/x<1或x>5}.
  例3:函数f(x)=lg(x-1)既可以说在(1,+∞)递增,又可以说在{x/x>1}上是增函数.
  那么例1中的单调区间的两种表示方法是否都正确呢?
  笔者认为,第一种表示方法指的是多个区间,当k取不同的整数的时候,表示不同的区间,如:k=-1表示区间,k=0表示区间,k=1表示区间,即k取遍所有整数时的各个区间,即它不等同于这些集合的并集.而第二种表示法方法指是多个区间的并集,即:…∪∪…即k取遍所有整数时所得区间的并集.
  再者,我们了解,对于函数的单调性,只能在定义域的某个区间上进行研究,不能将单调性相同的区间并起来,如函数f(x)=的单调区间,学生容易误写成:(-∞,0)∪(0,+∞),而正确的写法为:函数的单调区间为(-∞,0)和(0,+∞),它指的是函数有两个单调递增区间.所以例1中的函数的单调区间应该是有无数多个,而不是取并集为一个区间.这个问题其实在必修四中正切函数的性质也有所体现:“正切函数在开区间(-+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.”认真观察我们便会发现,对于单调区间,课本是有给出严谨的表示的,即三角函数中的单调区间基本都会用区间表示.
  所以事实上,数集和区间并不能等同,数集和区间在其他地方也是有区别的.例如:对于离散的数集,可用集合{1,2,3,4}表示,但不能用区间表示若给定集合{x/m-1-2,即此区间一定有意义,不为空集.
  所以数集和区间并不能简单地等同,它们之间存在区别,我们必须认清它们的区别并正确使用,例如:函数y=lg(sinx)的定义域正确表示则应该为{x/2kπ  总之,区间的概念是在集合的基础上给出的,在很多情况下区间和集合可以相互转化.
  其实在本题中,集合与区间的区别仅仅在于后面的k∈Z,比如区间(,π)与集合{x/  数学是一门非常严谨的学科,数学教师应该在教学中处处体现其严谨性,这样学生才能在学习中逐步形成严密的思维方式,在教学中不能模棱两可,是就是,不是就不是,容不得半点纰漏,要注意各种细节的不同.在高中数学教学过程中,其实还有很多细节需要我们注意,比如此题学生所写答案除了本文开头两种外,还有部分学生的答案为(3){x/k·180°-75°  对于这个答案,备课组老师们大多数认为,因为函数的定义域必须是数集,而单调区间是定义域的一个子集,所以必须为数集,那么就必须用弧度制表示,所以这类答案肯定不正确.那么,事实真是如此吗?
  必修一是在两个非空数集的基础上给出函数的概念,于是,在高中教学中,有很多老师在给学生介绍弧度制时都以为了使研究三角函数时,使得角与实数集一一对应为理由,但真的是如此吗?事实上,弧度制和角度制是度量角的两种不同的方式,而其实,无论是角度制还是弧度制,都能使得每个角都有唯一的实数与之对应,也就是说,无是有角度制还是弧度制,都能够建立三角函数,三角函数的定义域及单调区间也能用角度制表示,所以笔者认为,第(4)种答案也是可以的.那么到底为什么有了角度制还要引入弧度制呢?我们知道角度制为六十进制,而弧度制是用长度单位度量角,是一类十进制的实数,弧度制的定义巧妙地将长度单位和角度单位统一起来,这给研究三角函数带来很大的便利.而且在必修四给出三角函数的定式义时:是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么,y叫做α的正弦,即sinα=y,这个时候,y的单位为长度单位,若此时,角a采用角度制,则它们的单位无法统一,而弧度制恰恰解决了这个问题.
  当然,因为角度制是用角度量角,而弧度制是用长度度量角,这种方式学生理解起来会有些困难,在教学中解释为什么引入弧度制的必要是十分重要的,对于弧度制的理解,必须贯穿整个三角函数的学习中,即教学学习中都要尽量采用弧度制以便学生习惯并掌握弧度制,角度制和弧度制是角的两同的度量方式,这与用千克,磅度量质量一样,是一种非常重要的认识,弧度制的引入最基本的作用体现在三角函数的认识上.
  老子曾说:“天下难事,必做于易;天下大事,必作于细。”要做好一件事,必须从最简单最细微的地方入手,在科学领域中,细节是决定成败的关键.数学教学也是如此,在教学过程中,一定要注重各种细节,即使是教学语言也要注重细节,养成用词的习惯,这样学生才能吃透课本,深入理解每个概念,从而真正掌握各个知识点,学好数学.总之,教师的发展就是为了学生的发展,在教学中,对细节的不忽视、不敷衍,是对学生负责任的一种体现.  

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