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　　案例3在学习了“直线与圆的位置关系”后，笔者发现，作业中有一道题很多学生都做错了。原题如下：

　　已知A为⊙O上一点，B为⊙O外一点，顺次连接点A、B、O，得△ABO，且sinB=，能否判定直线AB和⊙O相切？试说明理由。

　　出示了题目后，许多学生大声回答相切，这时笔者先找一名学生说明理由。

　　生1：因为sinB=，所以△OAB是直角三角形，即OA⊥AB。所以AB是⊙O的切线。

　　师：为什么sinB=，△OAB就是直角三角形呢？

　　生1：（理直气壮地）因为sinB=，所以∠B=30°，所以∠O=60°，所以∠OAB=90°，并且可以画出相对应的图形（如图1）。

　　师：∠ABO=30°，为什么就能推出∠O=60°呢？

　　生1：（有些不耐烦地）因为是在直角三角形中，所以∠ABO=30°。得出∠O=60°。

　　师：哪里说明是在直角三角形中了呢？若已经给出△OAB是直角三角形了，还需要根据∠B=30°，∠O=60°来证明∠OAB=90°吗？

　　生1：这很简单。因为sinB=，锐角三角函数值是只能在直角三角形中求出来的，所以△OAB是直角三角形。已知直角边等于斜边的一半了，怎么会不是直角三角形呢？

　　师：你有其他的想法吗？

　　生2：还不知道是直角三角形，就默认是直角三角形了。

　　师：那么sinB=，能说明什么呢？

　　生2：只能说明∠B=30°。其他的角度数为多少还不能确定。

　　在这里，教师不急于把答案“塞”给学生，而是适时驻足，“装聋卖傻”，通过追问，引发讨论，让学生在不断的争辩中自我纠偏、勘误，很好地深化了认识，经历了一个“自悟自得”的过程.

　　四、欲擒故纵，在思维的跨越处驻足

　　从观察现象到发现本质这个过程对学生来说是一个思维的跨越。这个时候教师可适时驻足，让学生充分讨论交流、说理辨析，以加深理解，深化认识，从而蓄势发力，有效实现思维的跨越。

　　案例4底面积和高都相等的圆柱和圆锥体，它们的体积差是40，和是多少？

　　师：底面积和高都相等的圆柱和圆锥有什么关系？

　　生：圆柱是圆锥的3倍。

　　师：那我们可以用什么方法来解？

　　生：设未知数的方法，圆锥是x，圆柱就是3x，3x-x=40，我们可以求出圆锥体积是20，那么圆柱的就是60了，它们的和是20+60=80。

　　师：懂了吗？

　　生：（异口同声）懂了！

　　师：那好，老师再来给同学们出一道题。同样是底面积和高都相等的圆柱和圆锥，体积和是100，差是多少？

　　生1：3x+x=100，解出x=25，3x=75，用圆柱的体积75减去圆锥的体积25等于50。

　　生2：老师我认为不用再求圆柱的体积，直接用圆锥的体积乘以2就可以了。

　　师：同意吗？

　　生：同意，因为底面积和高都相等，圆柱的体积比圆锥大2倍，所以可以直接乘。

　　生3：我有不同看法。我认为连圆锥的体积也不用求。

　　师：（感到有些意外）说说你的想法。

　　生3：我观察了这两道题，当它们的体积是80时，体积差是40，体积和是100时，差是50，也就是说和是差的2倍。所以直接除以2就可以求出差。

　　师生：（恍然大悟）是不是所有的等底等高的圆柱和圆锥具有这种性质呢，让我们来验证一下。

　　生：如果用x表示圆锥，那它们的和就是4x，差就是2x，4x÷2x=2，也就是说，等底等高的圆柱圆锥的体积和永远是差的2倍。

　　学生在这种适时的驻足中实现了思维的跨越，透过现象抓住了本质，从知识的授受走向智慧生成，最终赢来了“精彩”。

　　五、追根溯源，在思维的深化处驻足

　　俗话说：打破沙锅问到底。这种好奇心正是学生的天性，教学中要注重探究过程，特别要在蕴涵深奥的数学原理也就是学生思维的升华处驻足，追根溯源，深化认识。

　　案例5在教学“四边形性质探索”的综合应用时，教师出示如下的预设性提问：

　　两个相同的正方形叠合如图2所示，O为四边形ABCD的中心，其边长为4，问阴影部分的面积为多少？

　　生1：把△OFC旋转到△OED，它们能够完全重合，通过三角形全等，得出S阴=S正方形=4。

　　（问题解决后，为了防止学生就题论题，满足于一个题目的解决，误认为只有两个正方形如图2所示叠合时，阴影部分的面积才等于原正方形面积的，思维停留于表象，而不能把握问题的本质，教师依次把第二个正方形变成扇形、曲边三角形、等腰直角三角形，并进行点拨。）

　　师：如图3～5，保持“∠EOF=90°”的条件不变，此时叠合的阴影部分的面积为多少？

　　生2：仍然有S阴=S正方形。

　　师：那么，问题的本质是什么呢？必须是两个完全一样的正方形叠合吗？

　　生3：只要过正方形的中心，叠合的角度为90°，阴影部分的面积就是原正方形面积的。

　　师：如果把“两个相同的正方形叠合如图2所示”的条件依次换成“两个正三角形叠合如图6所示”、“两个正六边形叠合如图7所示”的条件（点O为正多边形的中心），结果又如何呢？会不会有类似的结论？

　　（学生纷纷猜测叠合部分面积分别是原正三角形面积的和原正六边形面积的。）

　　师：能否按照刚才的方法来验证一下呢？

　　（学生逐个验证，发现此猜想是错误的。）

　　师：那么，此类问题中的叠合部分面积，除了与正多边形有关外，还会与什么因素有关呢？

　　（学生联想问题1的变形，确定了还与叠合的角度有关。）

　　最后，学生认识了问题的本质：对于两个叠合的正n边形，当叠合的顶点为正n边形的中心，叠合部分的角度为时，重叠的阴影部分面积即为正n边形面积的。

　　教师没有对数学问题浅尝辄止，而是适时驻足，通过点拨，以一道题目为载体，通过变换条件，透过现象抓住本质，使学生达到“解一题，会一类”的目的，避免了数学教学中的“题海”战术，提高了学生认识数学的水平，真正做到了“减负增效”。

　　总之，学生的数学学习应该是一个主动探索发现、不断反思内省的过程。适时地驻足，会让学生的参与兴趣更加浓厚，数学思维更加活跃，学习体验更加深刻，知识的掌握也更加牢固。教师只有把握好适时驻足的艺术，才能生成真正精彩的数学课堂。

　　（作者单位：宣汉县中小学教学研究室，四川，达州636150）