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　　摘要：线性相关性是线性代数的重点和难点，该文主要针对线性相关性判定，以及与线性相关性密切联系的线性空间和线性变换的几个重要问题，即向量组极大无关组、秩、基、维数，齐次线性方程组的基础解系，线性空间的子空间的求法，子空间的交与和，线性变换的值域与核等问题进行了深入细致的分析和研究。
　　关键词：线性相关线性无关向量极大无关组
　　中图分类号：O1；O151文献标识码：A文章编号：1674-098X（2013）05（a）-0009-02
　　线性相关性[1]是线性代数的重点和难点，所涉及的内容包括行列式、矩阵、线性方程组，并为向量组的极大无关组以及向量组的基和维数，齐次线性方程组的基础解系奠定了基础，也是学习高等代数[2]中线性空间、线性变换和欧氏空间的一个重要工具。对于此部分以及相关部分的学习是一个难点，它的抽象性是记忆犹新的，尤其是在学习这些部分的在校大学生也肯定体会到它们的重点和难点[3]，因此我们的确有必要对线性相关性有关的代表性问题进行深入细微的分析及研究。本文所涉及的问题对正在学习和复习这部分读者可能会有帮助，这也正是笔者所期待的。
　　问题1向量组线性相关性的判定[4]方法。
　　对于向量组的线性相关性的判定有以下三种不同的方法：
　　第一：用定义判定线性相关性：
　　设有s个数，使取，则上述方程可化为下列方程组：若
　　若线性方程组（1）有非零解，则向量组线性相关；若线性方程组（1）只有零解，则向量组线性无关；
　　第二：用矩阵的秩判断线性相关性：
　　向量组线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是。
　　第三：用行列式判断线性相关性：
　　对于n个n维向量：则
　　行列式线性相关；
　　行列式线性无关；
　　注：（1）一般如果向量是具体的向量可以用矩阵的秩来判断最简单，如果含有字母且当含向量个数和维数相同时可用行列式的方法，但有时不是具体向量组，而是向量组与向量组的关系，已知一组向量的线性相关性，来判断另一组向量的线性相关性，则用定义。
　　（2）这样分三种方法来判断向量组的线性相关性，根据题目的类型来选择方法，对这类问题就迎刃而解了，具体例题可以参照文献[5]。
　　问题2求解向量组极大无关组、秩、基、维数。
　　对于向量组的极大无关组、基、向量组的秩之间的关系对于很多读者来说是一个容易混淆的，分不清楚它们的联系，也是与线性相关性紧密结合的几个概念，所以有必要在这里提出。实际上对于向量组的极大无关组、基实质是一样的。向量组的极大无关组与线性相关性的关系就是向量组中找到个向量线性无关而向量线性相关，则个向量就是向量组的极大无关组，极大无关组可以作为向量空间或线性空间的基，就是向量组的秩也是向量空间或线性空间的维数。
　　例1求的一个基，使其包含向量。
　　分析：从上面指出的基和极大无关组的关系可知，实际上是找的一个极大无关组即可，所以只需在中另外找两个向量（一般找单位向量）只要线性无关即可。
　　解：令矩阵
　　∴构成的一个基。
　　注：对于不是求解向量空间而是其它线性空间的基是较难的题型，实际上处理方式是找出线性空间的元与向量组之间的关系后在找极大无关组或基。例如证明是的一个基。实际可以转换为向量组的关系即是向量组
　　是否线性无关的问题，这样使得类似的题目变得更简捷。
　　问题3线性相关性与线性方程组的基础解系的关系。
　　线性方程组与线性相关性是水乳交融的关系，根据线性相关性的判断知道齐次线性方程组（1）有无非零解可判断线性相关性，反过来求解齐次线性方程组的基础解系实际上是求齐次线性方程组的所有解的一组基，或一个极大无关组。关于求解齐次线性方程组的方法有两种，第一是消元法，第二是取特殊向量代入求解法。具体例子各家高等代数或线性代数教科书及相关资料均有所举例，故而我们不再举例。
　　问题4线性相关性与求解生成子空间。
　　向量空间或线性空间的生成子空间对于读者是一个很抽象的问题，怎样求解生成子空间呢？实际上若是向量空间的生成子空间则与求向量组的极大无关组，因此求解生成子空间与线性相关性也是紧密结合的。对于不是向量空间的向量，而是矩阵、多项式作为元素的或其它的线性空间可以转化为向量空间来求。具体可参看下面的例子：
　　例2在中，求向量生成的子空间的基与维数。