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　　五、反证法的使用条件

　　任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.

　　虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.

　　例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.

　　分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为"如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0"，就能用反证法证明.

　　因此，对于下列命题，较适用反证法解决.

　　（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.

　　例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

　　证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

　　即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b

　　即：ln（b/a）≥（a-b）/b

　　交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

　　合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

　　反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说："反证法是数学家最精当的武器之一."它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.

　　参考文献：

　　[1]赵振威.中学数学教材教法[M].华东师范大学出版社，2000.

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　　[3]耿素云.离散数学[M].北京：高等教育出版社，1998.

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　　[5]路从条."反证法"思想在中学教学中的运用.福建教育学院学报，2003，（3）.

　　[6]车兰琴.谈反证法及其应用[J].数学教学研究，2005（03）.

　　[7]陈芳.论反证法的适应范围.科教文汇，2007，（5）.