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　　在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法--淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说："反证法是数学家最精当的武器之一."当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.

　　一、反证法的基本概念

　　1.反证法的定义

　　法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括："若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾."这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.

　　2.反证法的基本思想

　　反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：

　　"否定→推理→矛盾→肯定"，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.

　　3.反证法的逻辑依据

　　通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律："排中律"和"矛盾律".在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的"矛盾律"；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说"A或者非A"，这就是逻辑思维中的"排中律".反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据"矛盾律"，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以"否定的结论"必为假.再根据"排中律"，结论与"否定的结论"这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

　　二、反证法的步骤

　　用反证法证题一般分为三个步骤：

　　1.反设.假设原命题的结论不成立；

　　2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

　　3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.

　　即：否定结论→推导出矛盾→结论成立.

　　三、反证法的种类

　　1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.

　　2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.

　　四、反证法的典型例题

　　例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.

　　证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.

　　因为OA=OB，M是AB中点，所以OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.