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对高等数学教学中培养学生的“一般化”能力的思考

时间:2013-09-10 14:22 文章来源:http://www.lunwenbuluo.com 作者:姜绍忠 点击次数:

  波利亚在《数学与猜想》一书中讨论了“一般化”的概念及应用,他认为应该讨论“一般化”过程本身,“一般化”是获得发现的伟大源泉。为此,在高等数学教学中培养学生的“一般化”能力,对于培养学生的“合情推理”能力具有重要的意义。中学数学课程标准中强调培养学生的数学意识和数学应用能力,“一般化”是培养学生数学意识的重要手段。
  1.“一般化”的内涵
  波利亚认为“一般化”是从对象的一个给定集合进而考虑到包含这个给定集合得更大集合。并以哥德巴赫猜想的提出为例对“一般化”的作用进行了论述。例如,我们从考虑三角形进而考虑到任意多边形;我们从锐角三角形进而考虑到任意三角形。“一般化”是按着两个不同特征方式进行的。第一个例子我们用一个变数n(≥3)代替一个定数3;第二个例子我们去掉一个限制(0°<α<90°)。波利亚不仅给出“一般化”的定义,而且给出了“一般化”的方法,这是我们在数学教学过程中需要学习的。
  2.对高等数学课程中“一般化”内容的思考
  在高等书写的教材编排体系中,由于数学学科的特点、学生的年龄特点以及社会对数学知识的需要,决定数学的编排体系是呈螺旋式上升的,是由特殊到一般的,遵循了人类数学文化形成的规律。为此,在数学教学中教会学生“一般化”是非常重要数学方法。
  高等数学从一元函数的概念、极限、连续性、导数及微分的研究,“一般化”到多元函数的微分学,并强调从一个自变量到两个自变量的函数有些内容是全新的,而三元直至n元函数之间,只是形式上的不同,却没有本质上的的区别。为此,对于一元函数的教学研究尤为重要。学生只有在理解和掌握一元微积分的基础上,才能“一般化”进而理解和掌握多元微积分学。教学中心应该放在对一元函数微积分的教学部分。其中的向量代数与空间解析几何部分的内容,空间解析几何是中学学习的平面几何的“一般化”,不仅可以用代数方程的一些性质来研究图形性质,而且空间解析几何还能为二元函数提供直观的几何解释。
  例如,关于n维空间的内容,书中是从一维空间开始”一般化”。从数轴上的点与实数的一一对应关系,从而实数的全体表示数轴上一切点;在平面上引入平面直角坐标系后,坐标平面内的点与有序二元数组(x,y)一一对应,从而有序二元数组(x,y)的全体表示平面上一切点的集合;在空间引入直角坐标系后,空间的点与三元有序数组(x,y,z)一一对应,从而有序的三元有序数组(x,y,z)的全体表示空间的一切点集合;在上述就知识的总结回顾的基础上进行“一般化”,给出n维空间的概念:一般地,设n为取定的一个自然数,我们称为有序n元数组的全体为n维空间,而每个有序n元数组称为n维空间的一个点,数x称为该点的第i个坐标,n维空间记为R。
  并对平面两点间的距离公式的一般化给出了n维空间的两点和间的距离公式:
  |PQ|=。
  例如,在一元函数部分定义了函数的连续性:“设函数f(x)在x的某邻域内有定义,若f(x)=f(x),则称f(x)在x连续。”“一般化”的给出了二元函数连续性的定义和n元函数连续性的定义。“设函数z=f(x,y)在点P及其邻域内有定义,f(x,y)=f(x,y)。即对任意ε>0,存在δ>0,对任意(x,y)∈(p,δ),有|f(x,y)-f(x,y)|<ε则称函数f(x,y)在点连续。”在二元函数连续性的基础上,可相应的地推广到n元函数f(p)上去。
  3.关于在高等数学教学中教会学生“一般化”的建议
  通过上面的思考,我们发现学生能否”一般化”需要条件和基础。建构主义认为影响学生学习的主要因素是学生已经知道了什么。因此,学生是否能够“一般化”,教师在教学中要知道学生已经知道了什么即了解学生的基础。关于高等数学教学提出以下几点建议:
  (1)在高等数学教学中,一定要把一元函数部分基础打好,让学生真正理解和掌握一元函数微分学相关的基本概念和原理,这是后面学生学习“一般化”的必要条件。
  (2)在一元函数微分学的教学过程中,要根据学生的实际情况对教材内容进行整合,以保证学生能够接受,保证教学质量,从而有利于学生“一般化”,培养学生的数学意识。
  (3)在高等数学教学中,注重数学概念等实际背景,让学生真正掌握几何意义,这样有利于学生理解数学概念的原理,为学生的后续学习过程中的“一般化”奠定基础,且不可盲目的追求教学速度而略去这些学生必须的经历。
  (4)教师要不断研究教育理论和心理学理论,特别是数学教育理论,对教育家的观点要进行进行不断的思考,研究“一般化”的数学方法并结合自己的教学内容进行实践。在课堂教学过程中为学生对已有数学知识的“一般化“创造机会或条件。
  【参考文献】
  [1]波利亚著,李心灿,王日爽,李志尧译.数学与猜想(第一版).科学出版社,2001,7,1:11.

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